הוכחה שסדרה חשבונית ומעבר לכלל נסיגהסדרות 571 · שיעור 10
סדרות · שאלון 571
שיעור 10: הוכחה שסדרה חשבונית ומעבר לכלל נסיגה
פרק 3 – סדרה חשבונית ברמת 4 יחידות
1נוסח השאלה
2סעיף א – למה חשבונית, ונוסחת האיבר הכללי
3סעיף ב – כמה איברים לסכום 9,090
4סעיף ג – סכום 20 האיברים האחרונים
📄 נוסח השאלה
סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה: a1 = 4 , an + 1 = an + 5 לכל n טבעי.
א. הסבירו מדוע הסדרה היא סדרה חשבונית, ומצאו את נוסחת האיבר הכללי an שלה.
ב. מצאו כמה איברים יש לחבר בסדרה (החל מהאיבר הראשון) כדי שסכומם יהיה 9,090.
ג. בסדרה יש 80 איברים. מהו סכום 20 האיברים האחרונים?
סעיף א – למה חשבונית, ונוסחת האיבר הכללי
סדרה חשבונית: ההפרש בין כל איבר לאיבר שלפניו קבוע (אותו מספר לכל n). מעבירים אגף בכלל הנסיגה:
an + 1 − an = 5
📐 הפרש הסדרה החשבונית
ההפרש הוא 5 לכל n – מספר קבוע שלא תלוי ב־n. לכן הסדרה חשבונית עם a1 = 4 ו־d = 5.
an = 4 + (n − 1) · 5
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
= 4 + 5n − 5 = 5n − 1
בדיקה: a1 = 5 · 1 − 1 = 4 ✓ , a2 = 4 + 5 = 9 = 5 · 2 − 1 ✓
📐 הפרש הסדרה החשבונית
d = an + 1 − an
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
סעיף א – למה חשבונית, ונוסחת האיבר הכללי · המשך
בדיקה: a1 = 5 · 1 − 1 = 4 ✓ , a2 = 4 + 5 = 9 = 5 · 2 − 1 ✓
✅ פתרון סופי: an = 5n − 1
סעיף ב – כמה איברים לסכום 9,090
9,090 = n2 · [2 · 4 + (n − 1) · 5]
📐 סכום בסדרה חשבונית
2 · 4 + (n − 1) · 5 = 8 + 5n − 5 = 5n + 3
9,090 = n(5n + 3)2
כופלים ב־2:
18,180 = 5n2 + 3n
5n2 + 3n − 18,180 = 0
📐 סכום בסדרה חשבונית
Sn = n2 · [2a1 + (n − 1)d]
סעיף ב – כמה איברים לסכום 9,090 · המשך
5n2 + 3n − 18,180 = 0
n = −3 ± √(9 + 363,600)10 = −3 ± √363,60910 = −3 ± 60310
📐 נוסחת השורשים
n = 60010 = 60
(הפתרון השני −60610 שלילי, ונפסל: מספר איברים חייב להיות טבעי).
בדיקה: S60 = 602 · [8 + 59 · 5] = 30 · 303 = 9,090 ✓
✅ פתרון סופי: 60 איברים
📐 נוסחת השורשים
x = −b ± √(b2 − 4ac)2a
סעיף ג – סכום 20 האיברים האחרונים
מתוך 80 איברים, 20 האחרונים הם a61 , a62 , ... , a80. הם בעצמם סדרה חשבונית עם אותו הפרש 5, שמתחילה ב־a61.
a61 = 5 · 61 − 1 = 304
📐 נוסחת האיבר הכללי שמצאנו
a80 = 5 · 80 − 1 = 399
S = 20 · (304 + 399)2
📐 סכום בסדרה חשבונית
= 10 · 703 = 7,030
בדיקה: S80 − S60 = 40 · 403 − 9,090 = 16,120 − 9,090 = 7,030 ✓
📐 נוסחת האיבר הכללי שמצאנו
an = 5n − 1
📐 סכום בסדרה חשבונית
Sn = n(a1 + an)2
סעיף ג – סכום 20 האיברים האחרונים · המשך
בדיקה: S80 − S60 = 40 · 403 − 9,090 = 16,120 − 9,090 = 7,030 ✓
✅ פתרון סופי: 7,030
📌 סיכום התשובות
סעיף א
an = 5n − 1
סעיף ב
60 איברים
סעיף ג
7,030
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא